【ＤＳ検定】ＤＳ４　固有値

DS4：固有ベクトルおよび固有値の意味を理解している

データサイエンティスト検定のスキルチェックリストＤＳ４に関する解説を行います。

固有ベクトル：固有ベクトルは特定の行列Ａが作用すると、ベクトルの向きは変わらずに伸び縮みだけするベクトルです。
条件１　非ゼロのベクトル

条件２　「Av=λv」を満たす。　※λ：固有値、v：固有ベクトル

条件３　対象の行列Ａは正方行列である。

固有値：固有値は行列Ａが固有ベクトルに作用した際に伸び縮みする倍率を表したものです。

条件１　det⁡(A−λI)=0　を満たす。　※I：単位行列、det：行列式

下図の例ではある行列が緑矢印で示した固有ベクトルに作用した結果が青矢印になることを示したものです。この例では固有値は［－２］となります。

用途

固有値を求める

２×２行列Ａについて考えます。

「det⁡(A−λI)=0」の式にそれぞれの値を代入して固有値λを求める。最後に得られた式のa～dへ代入して計算すればλを求めることが出来る。

では実際に数字を使った例を紹介します。下記の例では固有値は「２」か「ー３」であることが分かります。

固有ベクトルを求める

同様に２×２行列Ａについて考えます。

「Av=λv」の式にそれぞれの値を代入して固有ベクトルvを求める。２行目で突然単位行列である「Ｉ」が出てきていますが、これはλがスカラーであるため、それを行列の形に変換するために単位行列を乗算しています。

前に求めた固有値「２」と「ー３」それぞれで固有ベクトルを計算する。この時のベクトルの次元数は行列の次元数と同じになる。行列とベクトルの計算はこちらを参照ください。

計算の結果、固有ベクトルは（４，１）であることが分かる。また、固有ベクトルの性質から（４，１）の比率が同じであれば、（８，２）や（１，１／４）も同様に固有ベクトルである。

「－３」で計算した結果は（１，－１）が固有ベクトルとなる。