固有値と固有ベクトルとは？意味と求め方を解説

DS004：固有ベクトルおよび固有値の意味を理解している

データ解析や機械学習の学習を進める中で、「固有値」「固有ベクトル」という用語に戸惑ったことはありませんか？これらは主成分分析（PCA）などの次元削減手法に不可欠な概念ですが、数式だけを見てもなかなかイメージが湧きにくいのが実情です。

本記事では、以下のような課題を解決します。
・固有ベクトルと固有値の意味が直感的に分からない
・「Av=λv」や「det(A−λI)=0」の数式の意味が理解できない
・実際にどうやって固有値・固有ベクトルを求めればよいのか知りたい
・これらの概念がデータ分析でどのように使われるのかを知りたい

２×２行列を用いた具体例や図を交えながら、基礎から丁寧に解説しています。数式の意味や計算方法だけでなく、固有値・固有ベクトルの実務での用途についても触れており、データサイエンティスト検定対策や業務での実践にも役立つ内容となっています。

固有ベクトル：固有ベクトルは特定の行列Ａが作用すると、ベクトルの向きは変わらずに伸び縮みだけするベクトルです。
条件１　非ゼロのベクトル
条件２　「 $A v = λ v 」を満たす。 ※$ 固有値、固有ベクトル
条件３　対象の行列Ａは正方行列である。

固有値：固有値は行列Ａが固有ベクトルに作用した際に伸び縮みする倍率を表したものです。

下図の例ではある行列が緑矢印で示した固有ベクトルに作用した結果が青矢印になることを示したものです。この例では固有値は［－２］となります。

固有値と固有ベクトルは、データ解析において以下のように有用です。

これらの特性により、固有値と固有ベクトルはデータの理解と解釈を支援し、複雑なデータセットを効果的に扱うのに貢献します。

２×２行列Ａについて考えます。

では実際に数字を使った例を紹介します。下記の例では固有値は「２」か「ー３」であることが分かります。

同様に２×２行列Ａについて考えます。

「 $A v = λ v」の式に$

前に求めた固有値「２」と「ー３」それぞれで固有ベクトルを計算する。この時のベクトルの次元数は行列の次元数と同じになる。行列とベクトルの計算はこちらを参照ください。

計算の結果、固有ベクトルは（４，１）であることが分かる。また、固有ベクトルの性質から（４，１）の比率が同じであれば、（８，２）や（１，１／４）も同様に固有ベクトルである。

「－３」で計算した結果は（１，－１）が固有ベクトルとなる。