条件付き確率とは？意味と求め方を具体例でわかりやすく解説

はじめに

サイコロを1回振って「4以上が出る確率」を考えると、4・5・6の3通りなので確率は1/2です。では、すでに「偶数が出た」と分かっている場合、4以上である確率は同じ1/2でしょうか。

このように、ある条件が分かったあとで確率を考え直すときに使うのが条件付き確率です。条件付き確率では、もとの全体ではなく「条件を満たす結果だけ」を新しい全体として考えます。この記事では、条件付き確率の意味、式の読み方、基本的な求め方をサイコロの例で説明します。

条件付き確率とは、ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率です。

例えば「サイコロで4以上が出る確率」と「サイコロで偶数が出たと分かっているときに4以上である確率」は、同じように見えて基準となる全体が異なります。前者では1から6までの6通りを全体として考えますが、後者では偶数である2・4・6の3通りだけを全体として考えます。

事象Bが起きたという条件のもとで事象Aが起きる条件付き確率は、P(A|B)と表します。「|」の右側にあるBが条件で、左側のAが確率を求めたい事象です。確率、標本空間、事象の基本は「確率とは？基本的な考え方と求め方をわかりやすく解説」で確認できます。

通常の確率では、起こり得る結果の全体である標本空間を基準にします。条件付き確率では、条件に合わない結果を除き、条件を満たす結果だけに全体を絞り直します。

6面の公平なサイコロで、Aを「4以上が出る」、Bを「偶数が出る」とします。条件がない場合、Aに当てはまるのは4・5・6の3通りなので、P(A)=3/6=1/2です。

一方、「偶数が出た」というBが分かっているなら、考える全体は2・4・6の3通りです。そのうちAにも当てはまるのは4・6の2通りなので、P(A|B)=2/3となります。

考え方	基準にする全体	A「4以上」に当てはまる結果	確率
条件なし	1・2・3・4・5・6	4・5・6	1/2
偶数という条件あり	2・4・6	4・6	2/3

条件が付くことで分母に当たる「全体」が変わるため、同じ事象Aでも確率が変わることがあります。

ここで、条件が付いたからサイコロそのものの性質が変わったわけではありません。「偶数が出た」という情報を得たことで、1・3・5を候補から除外できるようになったと考えます。条件付き確率は、このように得られた情報を使って、確率を考える範囲を絞り直す考え方です。

条件付き確率は、次の式で表します。

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ただし、条件としているBが起こる確率P(B)は0より大きくなければなりません。

P(B)は「条件Bが起きる確率」、P(A∩B)は「AとBが同時に起きる確率」です。Bが起きた場合だけに全体を絞り、その中でAも起きる割合を求めていると考えると式の意味を理解しやすくなります。

先ほどのサイコロの例では、B「偶数が出る」の確率は3/6=1/2です。A「4以上」とB「偶数」の両方を満たすのは4・6なので、P(A∩B)=2/6=1/3です。

したがって、

P(A|B) = (1/3) / (1/2) = 2/3

となります。各結果が同じ確率で起こる基本例なら、「Bを満たす結果のうち、Aも満たす結果がどれだけあるか」と数えても同じ答えになります。

条件付き確率では、何を条件にしているかを取り違えないことが重要です。P(A|B)は「Bが起きたときのAの確率」であり、P(B|A)とは別の値です。記号の左右を入れ替えても同じとは限りません。

また、条件Bが起きたと分かった時点で、Bに当てはまらない結果は候補から外れます。最初の標本空間をそのまま分母にすると、通常の確率を計算してしまい、条件付き確率にはなりません。

条件としている事象の確率が0の場合は、その条件のもとで通常の条件付き確率を定義できません。基本問題では、まず「条件に当てはまる結果が存在するか」を確認すると整理しやすくなります。

条件付き確率は、ベイズの定理を理解する前提となる考え方です。ベイズの定理では、P(A|B)とP(B|A)のように、条件と確率を求めたい事象の向きが異なる条件付き確率を関係づけます。

例えば「病気の人が検査で陽性になる確率」と「検査で陽性だった人が病気である確率」は同じではありません。条件付き確率で「何を条件にしているか」を読めるようになると、ベイズの定理の式も理解しやすくなります。

ベイズの定理そのものの計算や事前確率・事後確率については、「ベイズの定理とは？初心者にもわかる確率の更新法」で詳しく扱います。

条件付き確率とは、ある事象が起きたという条件のもとで、別の事象が起きる確率です。重要なのは、条件が付くと確率を考える全体が「条件を満たす結果だけ」に変わる点です。

事象Bが起きたときに事象Aが起きる確率はP(A|B)と表し、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)で求めます。まず条件Bに全体を絞り、その中でAも起きる割合を考えると、式を暗記せず意味から理解できます。