期待値とは？意味と求め方を具体例でわかりやすく解説

はじめに

確率を学んでいると、「このゲームを何度も繰り返したら、平均するとどれくらいの結果になるのか」を知りたい場面があります。そのようなときに使う基本的な考え方が期待値です。

期待値は、確率変数が取り得る値を、その値が起こる確率で重み付けして平均した値です。この記事では、離散型の確率変数を対象に、期待値の意味と求め方をサイコロの例で整理します。

期待値とは、確率変数が取り得る値を、その値が起こる確率で重み付けして平均した値です。 同じ条件で試行を何度も繰り返したとき、結果の平均がどのあたりになるかを考える基準として使います。

普通の平均は、実際に得られた複数の値を足して個数で割ります。期待値はまだ試行していない段階でも、取り得る値とそれぞれの確率が分かっていれば計算できます。

そのため期待値は、観測済みデータの平均そのものではありません。確率分布として想定される結果を、起こりやすさまで含めて平均した理論上の値です。実際に得られた平均と区別して考えると、期待値の役割を理解しやすくなります。

離散型の確率変数Xがx₁、x₂、…という値を取り、それぞれの確率がP(X=x₁)、P(X=x₂)、…であるとします。期待値は、各値にその確率を掛け、その結果をすべて足して求めます。

E[X] = x₁P(X=x₁) + x₂P(X=x₂) + …

ポイントは、取り得る値を単純に平均するのではなく、起こりやすい値ほど大きな重みを持たせることです。すべての値が同じ確率なら単純平均と同じ結果になることがありますが、確率が異なる場合は値だけを平均してはいけません。

計算するときは、まずXが取り得る値を並べ、次に各値の確率を対応させます。その後で「値×確率」を求め、最後にすべてを合計します。表に整理すると、どの値にどの確率を掛けたのかを確認しやすくなります。

公平な6面のサイコロを1回振り、出た目を確率変数Xとします。Xが取る値は1、2、3、4、5、6で、それぞれが出る確率は1/6です。

これらを足すと、E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5です。したがって、このサイコロの出目の期待値は3.5になります。各目の確率が同じなので、この例では1から6までの単純平均と同じ結果になります。

サイコロには3.5という目はありません。それでも期待値が3.5になるのは、期待値が「次に出る値」や「最も出やすい値」を表すものではないためです。

同じ条件でサイコロを何度も振ると、出目にはばらつきがありますが、試行回数が十分に増えたときの平均を考える基準が3.5です。期待値は、1回ごとの結果を予言する値ではなく、確率分布全体を平均的な1つの値で表したものと考えると理解しやすくなります。

また、期待値が3.5だからといって、3や4がほかの目より出やすいという意味でもありません。公平なサイコロでは1から6までの各目の確率はすべて1/6です。期待値と最頻値は別の考え方であり、「平均としてどこに位置するか」と「最も起こりやすい値」を混同しないことが大切です。

期待値では、値の大きさだけでなく、その値が起こる確率が重要です。例えば、100円もらえる確率が1/2、0円の確率が1/2なら、期待値は100×1/2+0×1/2=50円です。

一方で、100円もらえる確率が1/10、0円の確率が9/10なら期待値は10円になります。同じ「0円と100円」という2つの結果でも、確率が変われば期待値も変わります。この重み付けが期待値の基本です。

期待値を求めるには、まず何を数値として扱うかを決める確率変数と、その確率変数がどの値をどの確率で取るかを表す確率分布が必要です。

確率変数が「何を数値として扱うか」、確率分布が「各値にどの確率が対応するか」を表し、期待値はそれらを使って平均的な値を1つにまとめます。この順番で整理すると、式の意味を追いやすくなります。

期待値とは、確率変数が取り得る値を、それぞれの確率で重み付けして平均した値です。離散型では「値×その値を取る確率」をすべて足して求めます。

公平な6面サイコロでは期待値は3.5ですが、3.5という目が出るわけではありません。期待値は1回の結果や最も出やすい値ではなく、同じ条件で試行を繰り返したときの平均を考える基準です。確率変数と確率分布を理解したうえで期待値を学ぶと、値と確率をどのように平均へまとめるのかが分かりやすくなります。