はじめに
和集合・積集合・差集合は、複数の集合を比べるときに使う基本的な考え方です。名前や記号が似ているため、「どの範囲を選ぶのか」「ベン図ではどこを指すのか」で迷いやすい部分でもあります。
ポイントは、和集合はAまたはBの少なくとも一方、積集合はAとBの両方、差集合は一方の集合からもう一方を除いた部分を表すことです。この記事では、3つの違いをベン図と記号、具体例を使って整理します。
和集合・積集合・差集合の違い
集合Aと集合Bを比べると、3つの違いは次のように整理できます。
| 種類 | 記号 | 意味 | 英語 | ベン図で見る範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 和集合 | A∪B | AまたはBの少なくとも一方に含まれる | union | AとBの両方の円全体 |
| 積集合 | A∩B | AとBの両方に含まれる | intersection | AとBが重なる部分 |
| 差集合 | A−B、A\B | Aに含まれ、Bには含まれない | set difference | AのうちBと重ならない部分 |
「和」「積」という言葉から計算を連想しやすいですが、ここで扱うのは数値の足し算や掛け算ではなく、どの要素を集合として選ぶかという操作です。
和集合とは
和集合は、AまたはBの少なくとも一方に含まれる要素を集めた集合です。記号では A∪B と表します。
例えば、A={1,2,3,4}、B={3,4,5} とすると、A∪B={1,2,3,4,5} です。3と4は両方の集合に含まれていますが、和集合では同じ要素を重複して並べません。
ベン図では、Aの円とBの円を合わせた全体が和集合です。重なっている部分も、Aだけの部分も、Bだけの部分も含みます。
積集合とは
積集合は、AとBの両方に共通して含まれる要素を集めた集合です。記号では A∩B と表します。
先ほどと同じ A={1,2,3,4}、B={3,4,5} なら、A∩B={3,4} です。1と2はAだけ、5はBだけに含まれるため、積集合には入りません。
ベン図では、2つの円が重なっている部分だけが積集合です。「AにもBにも当てはまるもの」を探すと考えると分かりやすくなります。
差集合とは
差集合は、一方の集合に含まれる要素から、もう一方の集合にも含まれる要素を除いた集合です。AからBを除く場合は A−B や A\B と表します。
A={1,2,3,4}、B={3,4,5} なら、A−B={1,2} です。3と4はBにも含まれるため除かれます。
差集合は順序で結果が変わる
差集合では、どちらからどちらを除くかが重要です。同じAとBでも、B−A={5} となり、A−B={1,2} とは結果が異なります。
ベン図で考えると、A−Bは「Aの円のうち、Bと重なっていない部分」です。記号を読むときは、左側の集合を基準にして右側を除くと確認すると混同しにくくなります。
ベン図で違いを確認する
和集合・積集合・差集合は、ベン図にすると選ばれる範囲の違いが見やすくなります。
和集合は2つの円を合わせた範囲、積集合は重なりだけ、差集合A−BはA側から重なりを取り除いた範囲です。記号だけで迷ったときは、「少なくとも一方」「両方」「一方から除く」のどれかに言い換えると整理できます。
補集合・対称差との違い
和集合・積集合・差集合と一緒に、補集合や対称差が出てくることがあります。いずれも集合の範囲を表しますが、選び方が異なります。
補集合
補集合は、あらかじめ定めた全体集合Uの中で、集合Aに含まれない要素を集めた集合です。Aの補集合を Aᶜ などと表します。
差集合A−Bが「AからBを除く」のに対し、補集合は「全体集合UからAを除く」と考えると違いが分かります。
対称差
対称差は、AまたはBのどちらか一方だけに含まれる要素を集めた集合です。A△B などと表し、(A−B)∪(B−A) と同じ範囲になります。
つまり、和集合から積集合の部分を除いた範囲です。差集合がA−Bのように向きを持つのに対し、対称差はAだけの部分とBだけの部分をまとめて扱います。
論理演算との関係
集合への所属を「当てはまる／当てはまらない」という真偽で考えると、和集合はOR、積集合はAND、対称差はXORに似た関係として理解できます。ただし、集合演算と論理演算は対象や記法が異なるため、同じものとして置き換えるのではなく、対応関係として捉えるのが適切です。
AND・OR・XORと集合演算の関係は「論理演算と集合演算の違いは？AND・OR・XORの関係を解説」で詳しく整理しています。
まとめ
和集合・積集合・差集合の違いは、どの要素を選ぶかで整理できます。和集合A∪BはAまたはBの少なくとも一方、積集合A∩BはAとBの両方、差集合A−BはAに含まれBには含まれない要素を表します。
特に差集合は順序によって結果が変わるため、左側の集合から右側を除くと読むことが大切です。ベン図では、和集合は両方の円全体、積集合は重なり、差集合は片方の円から重なりを除いた部分として確認できます。補集合や対称差も、この3つとの違いを意識すると混同しにくくなります。
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